2D线性变换
我们可以使用一个 \(2\times2\) 的矩阵乘以一个二维向量，得到一个新的二维向量
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11}x + a_{12}y \\\\ a_{21}x + a_{22}y \end{bmatrix} \end{gathered} \]
通过这种简单的公式可以实现许多实用的变换，包括缩放、切变、旋转、镜像等
缩放
缩放是最简单的变换操作，只需要沿着坐标轴乘以指定的倍数即可，构造一个 \(2\times2\) 的方阵，即：
\[ \begin{gathered} scale(s_x, s_y) = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\\\ 0 & s_y \end{bmatrix} \end{gathered} \]
通过这个矩阵就能将指定坐标缩放至任意倍大小
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} s_x & 0 \\\\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_xx \\\\ s_yy \end{bmatrix} \end{gathered} \]
例如，将图片 \(x\) 轴与 \(y\) 轴统一缩小一倍得到：
当 \(x\) 轴 与 \(y\) 轴缩放比例不同时：
切变
切变是一种特殊的平移，即其中一条边平行于坐标轴进行平移（将矩形变为的平行四边形）。随着远离原点，偏移量也会随之增大。水平或垂直切变矩阵：
\[ \begin{gathered} shear-x(s)= \begin{bmatrix} 1 & s \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix},\quad shear-y(s)= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ s & 1 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
切变也可以理解成只考虑一个坐标轴的旋转，通过旋转角度的 \(tan\) 值来确定 \(s\) ：
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & \tan\phi \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \quad or \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ \tan\phi & 1 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
例如，沿着水平方向向右切变 \(45^\circ\) ，构造矩阵：
\[ \begin{gathered} shear-x(s)= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
沿着垂直方向向上切变 \(45^\circ\) 也是同理：
\[ \begin{gathered} shear-y(s)= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
旋转
假设，我们要将向量 \(a\) 旋转到向量 \(b\) 的位置，已知向量 \(a\) 与 \(x\) 轴的夹角为 \(\alpha\) ，向量长度为 \(r = \sqrt{x_a^2 + y_a^2}\) ，得到各个点的位置信息：
\[ \begin{gathered} x_a = r\cos\alpha \\\\ y_a = r\sin\alpha \end{gathered} \]
因为向量 \(b\) 是由向量 \(a\) 旋转角度 \(\phi\) 得到，所以向量大小不变。使用三角恒等式展开得到：
\[ \begin{gathered} x_b = r\cos(\alpha + \phi) = r\cos\alpha\cos\phi-r\sin\alpha\sin\phi \\\\ y_b = r\sin(\alpha + \phi) = r\sin\alpha\cos\phi+r\cos\alpha\sin\phi \end{gathered} \]
再通过 \(x_a\) 与 \(y_a\) 将公式简化一下：
\[ \begin{gathered} x_b = x_a\cos\phi - y_a\sin\phi \\\\ y_b = y_a\cos\phi + x_a\sin\phi \end{gathered} \]
构造二维线性变换矩阵：
\[ \begin{gathered} rotate(\phi)= \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\\\ \sin\phi & \phantom{-}\cos\phi \end{bmatrix} \end{gathered} \]
例如，使用将一个图像旋转 \(45^\circ\) ，需要构造矩阵：
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} \cos\frac{\pi}{4} & -\sin\frac{pi}{4} \\\\ \sin\frac{\pi}{4} & \phantom{-}\cos\frac{pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.707 & -0.707 \\\\ 0.707 & \phantom{-}0.707 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
镜像
将图像以坐标轴为对称轴进行反射，只需要将除对称轴之外的其他坐标全都取相反数即可
\[ \begin{gathered} reflect-y= \begin{bmatrix} -1 & 0 \\\\ \phantom{-}0 & 1 \end{bmatrix} ,\quad reflect-x= \begin{bmatrix} 1 & \phantom{-}0 \\\\ 0 & -1 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
复合运算
通常我们会需要对一个图像进行多次变换，例如，先将图像缩放一次，再进行旋转一次
\[ \begin{gathered} first & v_2 = Sv_1, \\\\ then & v_3 = Rv_2 \end{gathered} \]
通过乘法结合律，可以将结果合并为：
\[
v3 = R(Sv_1) = (RS)v_1
\]
由此可知，我们能将两个操作合并为一个最终的变换矩阵：
\[
M = RS
\]
假设，我们需要将一个图像在垂直方向上缩小一倍，然后再旋转 \(45^\circ\)，计算得出最终的变换矩阵：
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} 0.707 & -0.707 \\\\ 0.707 & \phantom{-}0.707 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.707 & -0.353 \\\\ 0.707 & \phantom{-}0.353 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
特别注意：矩阵 \(M=RS\) 的计算顺序是右侧优先，即先计算缩放 \(S\)，再计算旋转 \(R\)。这个顺序非常重要，因为矩阵并不满足交换律，不同的运算顺序会产生不同的结果！！
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0.707 & -0.707 \\\\ 0.707 & \phantom{-}0.707 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0.707 & -0.707 \\\\ 0.353 & \phantom{-}0.353 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
3D线性变换
3D变换只是在2D的基础上拓展一个 \(Z\) 轴，例如，缩放矩阵多一个维度：
\[
\begin{gathered}
scale(s_x, s_y, s_z) =
\begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 \\\\
0 & s_y & 0 \\\\
0 & 0 & s_z
\end{bmatrix}
\end{gathered}
\]
3D旋转会比2D复杂得多，但是我们依然可以在2D的基础上加上一个 \(Z\) 实现简单的轴对称旋转：
\[
\begin{gathered}
rotate-z=\begin{bmatrix}
\cos\phi & -\sin\phi & 0 \\\\
\sin\phi & \phantom{-}\cos\phi & 0 \\\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{gathered}
\]
对于 \(X\) 轴与 \(Y\) 轴也是相同的做法：
\[ \begin{gathered} rotate-x=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi \\\\ 0 & \sin\phi & \phantom{-}\cos\phi \\\\ \end{bmatrix},\quad rotate-y=\begin{bmatrix} \phantom{-}\cos\phi & 0 & \sin\phi \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ -\sin\phi & 0 & \cos\phi \\\\ \end{bmatrix} \end{gathered} \]
3D切变与2D类似，沿着其中一条轴线平移即可：
\[ \begin{gathered} shear-x(d_y, d_z)= \begin{bmatrix} 1 & d_y & d_z \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
任意向量旋转
与2D旋转相同，3D旋转矩阵也是一个正交矩阵，这意味矩阵的三行分别是三个相互正交的单位向量：
\[ \begin{gathered} R_{uvw}= \begin{bmatrix} x_u & y_u & z_u \\\\ x_v & y_v & z_v \\\\ x_w & y_w & z_w \end{bmatrix} \end{gathered} \]
假设，三个单位矩阵分别为 \(\textbf{u, v}\) 和 \(\textbf{w}\)，由于相互正交：
\[ \begin{gathered} \textbf{u}\cdot \textbf{u} = \textbf{v}\cdot \textbf{v} = \textbf{w}\cdot \textbf{w} = 1 \\\\ \textbf{u}\cdot \textbf{v} = \textbf{v}\cdot \textbf{w} = \textbf{w}\cdot \textbf{u} = 0 \end{gathered} \]
若我们将旋转矩阵左乘单位矩阵 \(\textbf{u}\)，将得到：
\[ \begin{gathered} R_{uvw}\textbf{u}= \begin{bmatrix} x_u & y_u & z_u \\\\ x_v & y_v & z_v \\\\ x_w & y_w & z_w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_u \\\\ y_u \\\\ z_u \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_ux_u + y_uy_u + z_uz_u \\\\ x_vx_u + y_vy_u + z_vz_u \\\\ x_wx_u + y_wy_u + z_wz_u \end{bmatrix} \end{gathered} \]
观察结果矩阵，发现其与单位阵之间的关系：
\[ \begin{gathered} R_{uvw}\textbf{u}= \begin{bmatrix} \textbf{u} \cdot \textbf{u} \\\\ \textbf{v} \cdot \textbf{v} \\\\ \textbf{w} \cdot \textbf{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \end{bmatrix} = \textbf{x} \end{gathered} \]
相似的，我们还能得到 \(R_{uvw}\textbf{v}=\textbf{y}\)，以及 \(R_{uvw}\textbf{w}=\textbf{z}\)
因为旋转矩阵 \(R_{uvw}\) 是正交矩阵，所以它的逆矩阵就是 \(R_{uvw}^T\) ，通过该逆矩阵也能实现反操作
\[ \begin{gathered} R_{uvw}^T\textbf{y}= \begin{bmatrix} x_u & x_v & x_w \\\\ y_u & y_v & z_w \\\\ z_u & z_v & z_w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_v \\\\ y_v \\\\ z_v \end{bmatrix} = \textbf{v} \end{gathered} \]
对于一个任意向量 \(\textbf{a}\) ，我们可以假设该向量位于 \(\textbf{w}\) 轴上（即 \(\textbf{w} = \textbf{a}\) ），然后将其旋转到标准 \(\textbf{xyz}\) 坐标系，在对其进行指定的旋转操作，最后再使用逆矩阵将其旋转回 \(\textbf{uvw}\) 坐标系
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} x_u & x_v & x_w \\\\ y_u & y_v & z_w \\\\ z_u & z_v & z_w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\phi & -\sin\phi & 0 \\\\ \sin\phi & \phantom{-}\cos\phi & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_u & y_u & z_u \\\\ x_v & y_v & z_v \\\\ x_w & y_w & z_w \end{bmatrix} \end{gathered} \]
平移
我们前面都是通过一个矩阵 \(M\) 左乘向量，实现该向量的线性变换，以二维平面为例：
\[ \begin{gathered} x' = m_{11}x + m_{12}y \\\\ y' = m_{21}x + m_{22}y \end{gathered} \]
通过这种方式，我们只能够实现缩放和旋转，却无法进行平移操作。其实，想要实现平移操作只需要给每个点增加一个偏移量即可：
\[ \begin{gathered} x' = x + x_t \\\\ y' = y + y_t \end{gathered} \]
单独定义一个这样的平移操作确实可以实现效果，但我们更希望能够与前面一样只使用一个矩阵 \(M\) 进行线性变换，既能实现缩放与旋转，也能兼顾平移操作
这里需要引入齐次坐标的概念，将点 \((x, y)\) 拓展一个维度，写成新的三维向量 \([x, y, 1]^T\) ，矩阵 \(M\) 也拓展一个维度：
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & x_t \\\\ m_{21} & m_{22} & y_t \\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
使用修改过后的三维矩阵，就能够实现二维平面的线性变化（包括缩放、旋转和平移）
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} x' \\\\ y' \\\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & x_t \\\\ m_{21} & m_{22} & y_t \\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} m_{11}x + m_{12}y + x_t \\\\ m_{21}x + m_{22}y + y_t \\\\ 1 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
如果在进行线性变换时，不希望图像产生平移，只需要将向量的拓展维度设置为 \(0\) 即可：
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & 0 & x_t \\\\ 0 & 1 & y_t \\\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ 0 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
这样左上角 \(2\times 2\) 的矩阵依然会对向量进行缩放或旋转，由于向量拓展维度 \(0\) 的存在将平移的操作忽略了
由于齐次坐标的拓展维度只会是 \(0\) 或 \(1\) ，我们可以通过该值判断位置坐标或方向向量
\[ \begin{gathered} 2D\ point= \begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ 1 \end{bmatrix} \quad 2D\ vector= \begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ 0 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
在三维空间实现平移操作也是一样的使用齐次坐标，拓展一个维度即可：
\[ \begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & x_t \\\\ 0 & 1 & 0 & y_t \\\\ 0 & 0 & 1 & z_t \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + x_t \\\\ y + y_t \\\\ z + z_t \\\\ 1 \end{bmatrix} \end{gathered} \]
参考资料
- 齐次坐标
- 《Fundamentals of Computer Graphics》 Chapter 6 Transaction Matrices